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说说加州大学教授项武义的书和人

送交者: xwzy 2005年10月16日14:34:10 于 [教育与学术]http://www.bbsland.com

学习李群，我用的是项武义的《李群讲义》。我不清楚它究竟有多大影响。印象所及，似乎 好评不多。这里一位几何方面的老师提起它时，首先就说“错误很多”。北大研究生的“李 群”课程也通常不参考此书，而是用外国教材，而且很多时候偏于李代数及其表示。但我对 这本书的感觉还是很好的。主要恐怕是因为他有很多独特的看法和讲法。 在评价这本书时不可忘记，项武义本人是个几何学家，他对几何中的对称性很有心得，并且 在（作为几何对象的）李群方面有出色的工作。自然，他的写法就受到这个背景的强烈影 响。比如说此书一开头的引言中，他首先就从一个很高的高度出发，指出李群受人关注的原 因，在于一个基本现象，即数理结构有其内在对称性并在相当程度上被它决定。这方面的开 端是代数方程论里的Galois理论。后来Klein吸取群论观点，提出了Erlangen纲领，可以说 也是轰动一时。由历史观点出发，李群本来是几何与分析中自然出现的可微变换群，作为代 数结构与几何结构的自然结合，便有了丰富的结构和深刻的内容——注意，这种观点就暗含 着对纯粹代数或分析观点的舍弃。接下来，项武义指出有三种强有力的思路去研究李群： A)线性表示。这是Frobenius-Schur学派的方法。 B)李群结构的线性化——也就是相关联的李代数及两者之间的关系。这是Sophus Lie本人当年的奠基性工作（三个基本定理）。 C)伴随变换的几何。即伴随变换的轨几何（orbital geometry）。 对于前两项内容，项武义的处理是简洁而又单刀直入的，并不纠缠于细节问题。在建立了基 本的工具，保证足以处理伴随表示，又决定了SU(2)的不可约表示后，即进入全书最精彩的 第三章“伴随变换的几何”。其中最精华的有两点，一是他对极大子环群定理的证明，利用 了若干黎曼几何的基本事实，使得定理的成立有非常直观的理由；二是把对一般紧李群在伴 随变换下的轨几何的研讨，归结到已知的对SU(2)的轨几何的了解。这种几何味很浓的论 证，当时给了我很深的印象。（一位教李群的老师亲口对我说，他从来没有在别的书中见过 这样的讲法。） 第四章和第五章里，在通过令人眼花缭乱的论证得出有关紧半单李代数的分类定理，建立复 半单李代数的类似性质后，项武义特别指出（173页）：“紧半单李代数的复Cartan分解的 诸多特性中，比较深刻的部分都是应用SU(2)的复表示论加以推导的。……所以在这里对于 复半单李代数的Cartan分解的探讨中也自然要设法同样的运用SU(2)的复表示论，来论证它 也同样地具有那些深刻的性质……”这段话说明了此书讨论李群结构的一个基本切入口，那 就是每个紧（复半单）李群中都包含着许多具体而微的SU(2)(或其复化)，如同许多个切片 一样，因而对于SU(2)表示论的理解是基本的出发点（而把这些信息整合在一起就要靠对素 根系的几何的讨论，特别是Weyl群）。 项武义此书的一个小小特色是在不少大段论证前加有“分析”，解释其思路。我挺欣赏这一 点。但也有老师不以为然，说他“明白的废话”重复太多，而许多该说清的地方他却马虎过 去了，错漏尤其多。对后一点，我是深有感触。在我的研读过程中，常常要费很大的力气去 “debug”；印刷错误就一串，其它大大小小的疏漏也有三十处以上；有的地方至今不知如 何补足。当时自然是一边读一边叹气，事后回想，却正是因为这些错漏，才使得自己“不信 任”作者，好好地琢磨了许多问题。不然，我很可能就是“哦哦”地一眼扫过去了。这种 “大事不糊涂”的写法，也许更“instructive”。（伍鸿熙对Griffiths-Harris的 Principles of Algebraic Geometry有类似的评论：“……书中小错漏很多，但它最难得 的地方是极能把握要点，而且很清楚地告诉读者每个定理或概念的直观意义。”） 最近得知，本学期的“李群”课程用了项武义的这本书，可见金子总会发光，好货自有人 识。 其实我最早读到的项武义的书还不是《李群讲义》，而是他的另一本初等的几何书：《古典 几何学讲义》。当时我还是本科生。那本书里有很多给我留下深刻印象的说法。 他说，我们熟知的欧氏几何中的叠合公理（例如三角形全等的“SAS”(边角边)判则），实 际上是对空间对称性的刻画，是说空间有充分多的等距变换。特别的，罗巴切夫斯基几何以 及球面几何，只破坏了原来的平行公理，而三角形全等的性质并没变，这意味着三种几何有 一样的对称性，可以统一在同一种绝对几何学的框架里。这种说法到了后来学过黎曼几何中 的（n维）空间形式，知道它们是唯一的具有最大对称群（dim=n(n+1)/2）的黎曼流形后， 就更明白了。 另外他还说，从全等公理（或定理）到三角学（正弦定理、余弦定理），使得边角关系有效 能算，符合几何学从定性到定量的自然趋势；进一步到解析几何，更是使得整个几何学研讨 全面数量化。 他还特别评述了坐标变换在解析几何中的基本重要性（相近的意见他在《李群讲义》的第六 章第二节“变换群与古典几何”中又重新发表了一次）。第一是因为坐标只是人为选定用于 计算的参照物，本身不具有内在的几何意义，故任何有内在几何意义的事物与坐标选取无 关；反之，“一个和坐标系选取无关的事物也就具有内在的几何意义”。第二点是观察到， 坐标变换表明上看来是在搞“特殊化”，破坏空间的对称性，实际上又由于任意两个坐标居 于平等地位而恢复了匀齐性，“因此空间匀齐性在解析几何的研讨中的用法就在于灵活运用 坐标变换”。——事实上，这不过是Erlangen纲领在此情形的特例。 另外，那本书中介绍的最早用辗转相减（除）法发现不可公度量（实即无理数）的优美论 证，还有欧都克斯用穷竭法重建“相似形基本定理”的论证，都是极美好的。 回头说说项武义这个人，我见过他很多次了。主要是因为他常来北大讲演或参加学术会议。 有不少有意思的印象。 一是他讲演的风格，十分从容，让我听着很舒服。喜欢讲一点初等的东西或故事，蛮吸引 人。 二是他研究的主题、内容、方法，很有个人特色。大家都知道他这些年一直宣称自己解决了 Kepler的装球问题，但很少有人信服。很多人认为他误入歧途，不该去做这样“初等”、 “远离主流”的问题（据说批评者中包括陈省身先生以及他的弟弟项武忠）。可他很犟，认 为这个问题是重要的，大有意义的。这牵涉到他对几何研究的一个基本看法，那就是我们应 该重视那些实在的问题和对那些最基本而美好的空间的研究。看看他自己在《李群讲义》中 谈到对称空间时的一番话（193页）： “……黎曼流形的实例是非常繁复多样的，因此在研究黎曼几何学时，就特别要注意问题和 研讨范围的选择，力求做到恰到好处。例如在黎曼流形种种实例之中，上一节所介绍的常曲 率空间和本节所要讨论的对称空间，虽然都是十分特殊的实例，但是对于它们的几何性质的 研讨反而特别重要，因为它们是特别美好的黎曼流形，其结构自然地和数学的其它领域紧密 地联系在一起。其实，黎曼几何学研究的重点并不在于黎曼流形结构的一般性的讨论，而是 在于各种特殊的自然黎曼流形结构和种种基本的几何性质的研讨。” 正是基于这样的理由，项武义认为，象Kepler 关于packing problem的猜想，是有关我们 所身处的欧氏空间的基本事实，绝对值得弄清；并且这个问题又自然地和初等几何、对称群 （包括经典和例外李群）、最优化等联系在一起，由此可以加深我们对这些领域的理解…… 这些说法sounds very good，可惜我依然对装球问题不大感冒。相比较而言，倒是他另一 次有关三体问题的运动学（kinmatic）的演讲给我很深的印象。他有一些很好的想法，指出 问题的难点之一在于把原来过大的位形空间和对称群“化约”，使得问题简化。另外其中有 一些非常好玩的几何事实，让我大开眼界。我看到在去年的某一期国内期刊（名字忘了，反 正是最权威的一家，刚改版不久的）上发表了他的这样一篇论文，挺长，有兴趣的可以找来 看看。 我老板总是说，不要follow别人，要有自己的想法和兴趣，做自己的问题。在这方面，项武 义是一个好样板。数学大家看问题，总有自己的“几把刀”，作为他的切入口。项武义就总 是注意对称性对空间性质的影响。曾经有一次我代替我老板去机场接项先生，在小车上与他 聊了起来。我告诉他，我正在研究二维复射影空间（CP^2）中的几何（实际上是曲面论）。 他就提了两个问题。一是CP^2中的等周问题的解是什么？他猜想肯定是测地球（以最小的表 “面积”包围相同的体积）。二是CP^2中的三角形是什么？——确切地说，给定CP^2中的三 个点，两两可连三条测地线，那么以它们为边界的极小曲面是什么？他进一步解释了这两个 问题背后的着眼点，在于CP^2作为复空间形式，没有实空间形式那么多的对称性——比方 说，就不是过任意三点都有全测地子流形。它的不变量系统相应地也多一些，不但两个向量 X与Y间的夹角要考虑，而且JX与Y间的夹角（即X与Y之间的Kahler角，J是复结构）也要考 虑。那么很自然地要问，原来实空间形式中成立的一些基本事实，在复空间形式中又会怎么 样呢？我听了之后，频频点头，觉得有理。别看这两个问题似乎都很“初等”，它们确实告 诉了我们如何从一个基本的观点去理解特定空间的几何。他也启发我们，不必去玩弄各种花 哨的几何结构与名词术语，也不需言必称方程、公式，就可以自然地思考几何。 项武义先生有时让我觉得很好玩。那是在北大聘请他为客座教授的仪式上，他说自己第一次 来北大，是七十年代初中美关系刚解冻时，大陆还在闹文革。他不明就里，只是因为慕北大 之名，就拿着陈省身先生的推荐信到北大来访问，并且想做这里的教授。当时的校长好象是 周培源先生，刚巧一时不在，去井冈山了，几天后回来才接见了他。一见面，也不说别的， 就大骂国民党反动派当年如何如何残暴。项先生几次开不了口，莫名其妙，只好作罢。以后 周培源先生才对他解释说，当时有人在场，不便明白劝他别来，只好唱了一出戏。呵呵。 可惜更多的时候，我觉得他太“紧张”，过分专注于自己的主张和别人的承认。本来他应该 可以幽默一些的。比方说今年十月在南开召开的“纪念周炜良、陈国才国际会议”上，他的 报告安排在某天上午的最后一个，讲的还是他心爱的主题“装球问题”。时间早就过了预定 的一小时，他还没有一点结束的意思，依然滔滔不绝地在论述他的工作的特点、意义。大家 忍了又忍，会场里的气氛有点不大对头，直到一个洋妞嚷嚷了好几遍他才不得不打住。我觉 得他有些失态，又有些同情他——唉，学术上的承认真的这么“压”人？还是怀念Einstein 和陈省身先生都说起过的过去的好时光，悠然自得，纯粹处于学术兴趣，没有竞争职位的压 力——更没有SCI!

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